Think Waldorf 想想華德福-新減法借位 New Subtraction With Borrow - 通達人驛站
2015/12/14

Think Waldorf 想想華德福-新減法借位 New Subtraction With Borrow

Think Waldorf 想想華德福-新減法借位 New Subtraction With Borrow

這篇文章描述了身為一個父親,為了幫助和孺理解三年級的直式運算減法借位,我自創了數學直式運算表示方式。同時,也一併說明,在使用這個新直式運算表示方式時,我的個人思考。

慈心華德福從三年級開始教數學直式運算,但和孺的直式運算結果一直算不正確。

所幸我在三年級的秋假前就發現這個問題,趁著秋假了解她卡住的原因後,我改教和孺另一種數學直式運算的表示方式,讓她能比較順利的銜接上學校的教學進度。
The Example of New Subtraction With Borrow 新減法借位的實例

和孺的問題


根據我的觀察,和孺可以現行教學直式運算式的加法,如 198+103= 的直式運算:

   11
   198
 +103
 ------
   301

但和孺無法理解現行教學直式運算式的減法,如 301-198= 的直式運算:

  11
  301
 -198
 ------
  103

因為和孺在計算時,總是會忘記回頭去減十位數和百位數那個被借的一。

最後,我發現和孺的問題在於:她無法理解加法的進位、以及減法的借位都使用了相同方式表示,在計算時的邏輯卻不相同:
  • 直式運算式的加法:在十位數的計算是:一加九加零等於拾,寫零進位一。

  • 直式運算式的減法:在十位數的計算是:零減一不夠減,在百位數借一後變十,減一減九等於零。

新減法借位的考量


我想到的是:如果我繼續使用和老師一樣的教法,和孺仍然無法理解直式的表達。所以,我必須另闢蹊徑,才能突破和孺的障礙。

因此,我改變了原本直式運算的借位表示方式,成為「新借位」。如:301-198= 的「新借位」直式運算表示方式,仍使用「借位1」來表示,但「借位1」的表示位置被改在被借的十位數/百位數下面:

  301
 -198
  11
 ------
  103

用這個方式的優點在於:
  • 不影響目前加法的邏輯與表示;
  • 因為維持「由上而下」的計算,所以和孺就不會忘記去減那個「被借位的一」。

和老師的溝通


另外,我寫了一封信給老師,和老師溝通和孺的學習狀況、以及家長的工作內容。

同時,我在信中也強調幾件事:
  • 改採新教法,是因為用原本的方法無法幫助和孺學習。

  • 新教法不會抵觸原本、未來的教學方式。

  • 新教法是讓和孺趕上學校的教學進度,並沒有教老師尚未教的內容。
老師:

在這個秋假內,我幫和孺複習了加法的進位,以及減法的借位。
但和孺一直無法理解加法的進位、以及減法的借位都使用同一種方式表示。
因此,我改變了學校的教法,最後和孺終於能正確的進行減法的借位,並正確的算出結果。

所以我必須讓老師知道,和孺可能會在學校使用不同(與學校所教)的表達方式進行減法的借位。

我教導和孺的方式中,「進位」仍和老師的教法相同、不抵觸。經過一周的密集練習,她「幾乎」已經不會算錯進位了。

但「新借位」就有點差異:仍使用「借位1」來表示,但「借位1」的表示位置被改在被借的十位數/百位數下面。
例如:301-198的「新借位」表示方式如下:
  301
 -198
  11
 ----
  103
用這個方式的優點在於不需改變原先的邏輯,而且因為「由上而下」的計算,所以不會忘記去減那個「被借位的一」。
只是要減的數字,由一個變成二個,這個就可能會影響到老師未來進行多項式的運算。

此外,這個方式必須搭配「心法」來使用。我同時要求和孺必須唸出借位的整個思考過程:
例如:301-198的心法如下:
.一減八不夠減,向零借了一(在9的下面寫1),十一減八等於三(寫3)。
.零減九不夠減,向參借了一(在1的下面寫1),十減九等於一、再減一等於零(寫0)。
.三減一等於二、再減一等於一。
以上就是我指導和孺的方式。

我強調,我的教導只是讓和孺趕上學校的教學進度,但絕不包含學校尚未教過的內容,以避免影響老師的教學進度。

我的期望也很簡單:當家長使用不同於學校、但小孩比較能理解的教學方式時,要請老師多多包含。
因為,我認為老師和家長在學校都有一致的立場:讓小孩能學會學校教的內容。

倘若老師看到和孺的工作本上有不同借位表達方式時,要請你不要在那個借位的「1」上劃圈圈,
因為和孺真的很在意那個被老師用來表示不正確的圈圈上。

謝謝老師的包容,
和孺爸


使用新減法借位的考量


我在看到和孺在學習減法借位的困惑時,讓我聯想到自己在國一第一次看到GW-Basic時的程式時的困惑。那時,我在書上看到:
i = i + 5;
我一直想不懂這個道理,我看了許多的書也沒有說這個。一直到我在唸大學時看了 H.M.Deitel和P.J.Deitel 父子寫的《 C++ How to Program 》後,我才恍然大悟。

說穿了,這個原理很簡單:前面的 i 「不完全」等於後面的 i。後面的 i 是一個變數,在加了 5 之後,會先存到一個系統暫定的變數 j,再用變數 j 的值取代了變數 i 的值,以橫式的表達:
j = i + 5;
i = j;

但簡化了 j 的部份後,就變成了最後看到的:
i = i + 5;
但因為老師一直略過這個部份,大部份的書又沒有提借這個部份,所以我就被這個「簡單」的問題困惑了16年。如果16年前有人告訴我這個原理,我可能早就能學會寫程式了。

因為這個個人經驗,使我在面對和孺的直式運算困境時,有了不同的觀點。和孺的思維方式和我很雷同,只要有一個關鍵的思考過不去,就會卡在那裏。只是我是年紀慢慢大了,有了自覺,會自己避過自己的障礙,免得自己卡住自己;但和孺沒有這個自覺,所以,我必須引領她走不同的路徑,讓她也能看到數學的美景。

這是我最關鍵的想法。另一個考量是,我不是科班出身的的數學老師,所以我必須真的理解「直式運算」的意義。

在Google後,我找到兩篇關鍵的文章《直式算則的你爭我論》和《有關加減法的直式運算》。一直到看完這兩篇文章後,我才能確定「直式運算」只是一個輔助的計算工具,並沒有一定的使用方式,我才敢大膽的使用這個新減法借位。

最後一個考量是「家長在華德福教育中的定位」,但這個問題有點大,有許多家長、老師,各有不同的看法,所以我會寫另一篇文章討論。

總之,在華德福教育中,家長要自強

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